Proofs of irrationality using Legendre polynomials

Abstract

We explore the theory of Legendre polynomials and their application in proving irra- tionality of real numbers. We define Legendre polynomials and prove their basic prop- erties. We first study an elementary method of proving a number's irrationality by expressing it as a sum of a fast-convergent series and derive a new criterion under which it is applicable. Then we apply the developed theory of Legendre polynomials to prove irrationality of pi and rational powers of Euler's number, where the previous method fails.

Věnujeme se teorii Legendreových polynomů a jejich aplikací v důkazech iracionality reálných čísel. Definujeme pojem Legendreových polynomů a dokážeme jejich základní vlastnosti. Zabýváme se nejprve elementární metodou důkazu iracionality čísla jeho vy- jádřením jako součtu rychle konvergentní řady a odvodíme nové kritérium použitelnosti této metody. Následně použijeme vybudovanou teorii Legendreových polynomů k důkazu iracionality pí a racionálních mocnin Eulerova čísla, kde předchozí metoda selhává.