Lelkova hypotéza

Abstract

Lelek's conjecture which states that metric continua with span zero are chainable has been one of the most widely investigated problems in continuum theory over the past 40 years. We broaden our field of interest to non-metric continua and prove that if there is a non-metric counterexample to Lelek's conjecture we can convert it to a metric one. For a continuum X we take the lattice of all of its closed subsets 2X and consider a countable elementary sublattice L of 2X that we represent by a metric continuum wL via the Wallman representation for distributive lattices. By means of set theory, we obtain an L such that X is not chainable if and only if wL is not chainable and X has span zero if and only if wL has span zero. In the proof of the latter we use Shelah's theorem stating that every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapowers.

Lelkova hypotéza, která říká, že metrická kontinua se spanem nula jsou chainable, je jedním z nejvíce studovaných problémů v teorii kontinuí. V této práci formulujeme Lelkovu domněnku pro nemetrická kontinua a dokážeme, že pokud existuje nemetrický protipříklad na Lelkovu hypotézu, můžeme jej přeměnit na metrický. Každý spočetný elementární podsvaz L svazu 2X všech uzavřených podmnožin kontinua X lze reprezentovat metrickým kontinuem wL pomocí Wallmanovy reprezentace distributivních svazů. Použitím teorie množin získáme L takové, že X není chainable tehdy a jen tehdy, pokud wL není chainable a X má span nula právě tehdy když wL má span nula. V důkazu druhé části tvrzení používáme Shelahovu větu o izomorfních ultramocninách elementárně ekvivalentních modelů.