The Philosophical Problem of Identity and Category Theory

Abstract

The canonical extensional foundational theory of sets, ZFC, as a prime example of what Paul Bernays called Hilbert-style axiomatics, operates as a harbinger of Math- ematical Platonism, a view attributing mathematical abstract objects independent reality in an answer to some of the central questions in philosophy of mathematics: What is the ontological status of mathematical abstract objects and in what relation to us do they stand? What is the role of mathematical theories as regards ontology? And where does the subject stand with respect to mathematical structures? Modern mathematics as an extensional discipline founded over ZFC is thereby Platonically inclined. Classicality, which is an aspect of ZFC, is however brought into question by Mathematical Pluralism, whose motivation it is to make us account for relevant areas of mathematics that do not fit within the classical framing, either in ZFC itself or in classical first-order logic. Pluralism maintains that all mathematical theories must stand equal as theories, and canonicity must be rejected. Together, they produce Platonic Pluralism, a view wherein mathematical entities occupy an independent reality, of which each is an equal part. The aim of this thesis is to address three problems that emerge in its reckoning: 1. What is the identity,...

Kanonická extenzionální teorie množin ZFC, jakožto nejlepší příklad toho, co Paul Bernays nazval Hilbertovým stylem axiomatiky, vnáší do matematiky Matematický Platonismus. Jedná se o filozofický pohled, připisující matematickým abstraktním objektům nezávislou realitu, v odpověď na některé centrální otázky v oblasti filo- zofie matematiky: Jaký je ontologický status matematických abstraktních objektů a v jakém vztahu k nám stojí? Jaká je pro ontologii role matematických teorií? Kde si stojí subjekt vzhledem k matematickým strukturám? Moderní matematika, jakožto extenzionální disciplína založená na ZFC, se přiklání k Matematickému Platonismu. Klasičnost, která je aspektem právě ZFC, je podrobena otázkám skrze Matematický Pluralismus. Filozofický pohled, jehož motivací je přinutit nás vzít v potaz relevantní oblasti matematiky, které nezapadají do klasického rámce, ať už rámce ZFC nebo klasické prvořádové logiky. Matematický Pluralismus zastává, že všechny matemat- ické teorie jsou si jakožto teorie rovné, a kanoničnost musí být odmítnuta. Cílem této práce je adresovat tři problémy přicházející spolu s přijetím Matematického Pluralismu. 1. Co je zač ta identita, která konstituuje vnější formu...