Automaton-Based Characterisations of Temporal Logics

Abstract

We characterise the expressive power of temporal logics of the form TL[V], where V is a pseudovariety of finite semigroups. This class includes, as a prominent example, propositional dynamic logic, corresponding to the case where V is the pseudovariety of all finite semigroups. Specifically, we prove a semantic equivalence between TL[V] and a class of finite-state tree automata. These automata operate over infinite trees with unbounded branching and are defined using a monotone transition logic E1[Q], subject to joint discreteness and joint co-discreteness conditions that allow the acceptance parity games of the automaton to be encoded by word languages. The main result establishes that a tree language is definable in TL[V] if and only if it is recognized by an E1-automaton in normal form whose automaton languages, that is, the word languages governing its transitions, are recognized in V; both directions of the equivalence are given by explicit constructions.

Charakterizujeme expresivní sílu temporálních logik typu TL[V], kde V je pseudova- rieta konečných pologrup. Mezi tyto logiky patří například propoziční dynamická logika, která odpovídá případu, kdy V je pseudovarieta všech konečných pologrup. Konkrétně dokazujeme sémantickou ekvivalenci mezi TL[V] a třídou konečných stromových auto- matů. Tyto automaty pracují nad nekonečnými stromy s neomezeným větvením a jsou definovány pomocí monotónní přechodové logiky E1[Q], přičemž platí podmínky společné diskrétnosti a společné ko-diskrétnosti, které umožňují kódovat akceptační paritní hry automatu pomocí jazyků slov. Hlavní výsledek stanovuje, že stromový jazyk je definova- telný v TL[V] tehdy a jen tehdy, když je rozpoznatelný E1-automatem v normální formě, jehož automatové jazyky, tj. jazyky slov řídící jeho přechody, jsou rozpoznatelné ve V; oba směry ekvivalence jsou dány explicitními konstrukcemi.