1-Planar Graphs

Abstract

Jednotkový graf je rovinný graf, jehož hrany jsou reprezentovány úsečkami jednotkové délky. Pro tuto třídu grafů Harborth navrhl explicitní horní odhad na maximální počet hran, jenž byl později potvrzen Lavolléem a Swanpoelem. V této práci se pozornost přesouvá k 1-planárním jednotkovým grafům, což jsou grafy, které lze nakreslit do roviny, kde všechny hrany mají jednotkovou délku a každou hranu kříží nejvýše 1 jiná hrana. Doposud byly nejlepší známou konstrukcí pro dosažení co největšího počtu hran mezi n vrcholy právě jednotkové grafy s maximálním možným počtem hran. V této práci jsou představeny tři nové konstrukce 1-planárních jednotkových grafů, které dosahují vyššího počtu hran než jednotkové grafy se stejným počtem vrcholů. Tím je zodpovězena otevřená otázka položená Gehérem a Tóthem.

A matchstick graph is a plane graph whose edges are represented by line segments of unit length. For this graph class, Harborth conjectured an upper bound on the maximum number of edges, which was later confirmed by Lavollée and Swanepoel. In this work, the focus shifts to 1-planar unit distance graphs, which are graphs that admit a drawing in the plane where all edges are unit-length line segments and each edge is involved in at most 1 crossing. Previously, for such graphs, the best construction to achieve as many edges on n vertices as possible was the construction of matchstick graphs with the maximum possible number of edges. In this thesis, three new constructions of 1-planar unit distance graphs are introduced, yielding a higher number of edges than matchstick graphs on the same number of vertices. This answers an open question posed by Gehér and Tóth.