Quaternion orders and quadratic forms

Abstract

Hurwitzův důkaz Lagrangeovy a Jacobiho věty o čtyřech čtvercích využívá řády v kva- ternionové algebře nad racionálními čísly. Ve snaze o zobecnění této techniky na řády nad číselnými tělesy identifikujeme dvě její klíčové součásti: řád s dobrou teorií faktorizacce a podmínku, že všechny orbity v působení grupy prvků normy 1 násobením protínají podřád odpovídající zkoumané kvadratické formě. Využijeme nedávných výsledků týkají- cích se třídových čísel kvaternionových řádů, načež nalezneme všechny podřády splňující podmínku o orbitách. Poté získáme univerzalitu a vzorce pro počet vyjádření odpoví- dající kvadratickou formou. Dále podáme kvaternionový důkaz Götzkého věty o čtyřech čtvercích.

A proof of Lagrange's and Jacobi's four-square theorem due to Hurwitz utilizes orders in a quaternion algebra over the rationals. Seeking a generalization of this technique to orders over number fields, we identify two key components: an order with a good factor- ization theory and the condition that all orbits under the action of the group of elements of norm 1 acting by multiplication intersect the suborder corresponding to the quadratic form to be studied. We use recent results on class numbers of quaternion orders and then find all suborders satisfying the orbit condition. Subsequently, we obtain universality and formulas for the number of representations by the corresponding quadratic forms. We also present a quaternionic proof of Götzky's four-square theorem.