Formalization of homotopy pushouts in homotopy type theory

Abstract

Homotopické pushouty mohou být zkonstruovány jako vyšší induk- tivní typy v logickém rámci Homotopické Teorie Typů, ve kterém lze použít syntaktické metody pro zkoumání jejich vlastností, a formalizovat je v důka- zovém asistentu. Tato diplomová práce se zaměřuje na vlastnost sestupu, popsanou Rijkem, která charakterizuje rodiny typů nad pushouty; na lemma o zplošťování, popsané Bruneriem, které charakterizuje totální prostory takových rodin; a univerzální vlastnost typů identifikací v pushoutech, for- mulovanou Krausem a von Raumerem. Vybudujeme také základní infras- trukturu pro práci se sekvenčními kolimitami, podle článku Sojákové, van Doorna a Rijkeho. Vybudované nástroje posléze použijeme na částečný for- malizovaný důkaz Wärnovy klikaté konstrukce typů identifikací v pushoutech jako sekvenčních kolimit, s jedním neuzavřeným problémem koherence. Práce byla postupně formalizována v důkazovém asistentu Agda, a výsledky přispěny do knihovny agda-unimath. 1

Homotopy pushouts can be constructed as higher inductive types in the logical framework of Homotopy Type Theory, where one may engage syn- tactic methods to explore their properties, and formalize them in a proof assistant. This thesis focuses on the descent property, due to Rijke, which characterizes type families over pushouts; the flattening lemma, due to Brunerie, which characterizes the total spaces of such families; and the universal property of identity types of pushouts, due to Kraus and von Raumer. We also build elementary infrastructure for sequential colimits, following a paper of Sojakova, van Doorn, and Rijke. We then use the built machinery to provide a partial formalized proof of Wärn's zigzag construc- tion of identity types of pushouts as sequential colimits, leaving one coher- ence problem open. The thesis was simultaneously formalized in the proof assistant Agda and results contributed to the agda-unimath library. 1