Cryptographic application of codes over Galois rings

Abstract

Tato diplomová práce zkoumá Gabidulinovy kódy nad Galoisovými okruhy a jejich aplikaci v kryptografii. V úvodu práce je vysvětlena konstrukce Galoisových okruhů a je- jich základních vlastností. Tento krok je nezbytný pro vybudování teorie samoopravných kódů nad těmito okruhy. Dále je pro lineární kódy nad Galoisovými okruhy zavedena nová metrika, která zevšeobecňuje hodnostní metriku představenou Gabidulinem pro vektorové prostory nad koněčnými tělesy. Na to navazuje další část práce, ve které je představen efektivní dekódovací algoritmus pro lineární kódy využívajíci novou, kardinální hodnos- tní metriku. Nakonec je navržen kryptosystém s veřejným klíčem, jehož dešifrování je založeno na dekódovacím algoritmu. 1

This thesis researches Gabidulin codes over Galois rings and their application in cryp- tography. The first objective is to understandably explain the construction of Galois rings and their essential properties to the reader. This step is necessary to provide code theory over these rings and understand their differences from the standard one over finite fields. The cardinal rank and its induced metric are studied and utilised in linear codes. A significant part of the thesis is presenting an efficient decoding algorithm for the given error-correcting codes. The concluding part proposes a public key cryptosystem whose decryption is founded on the decoding algorithm. 1