Application of algebraic classification and related methods to problems of higher-dimensional relativity

Abstract

Ve čtyřrozměrné obecné relativitě hraje algebraická klasifikace důležitou roli při studiu pro- storočasů, včetně, avšak nikoli výhradně, hledání nových řešení Einsteinovy rovnice. V předlo- žené práci se zabýváme jejím zobecněním do více rozměrů, založeném na roztřídění bázových složek Weylova tenzoru podle jejich transformačních vlastností vzhledem k boostům. Konkrétně se zaměřujeme na její vztah ke dvěma zavedeným konceptům. Kaluzova-Kleinova redukce může být nahlížena jako relace mezi prostoročasy různé dimenze. Vzhledem k tomu je žádoucí jí porozumět v souvislostech vícerozměrné algebraické klasifikace. Studujeme algebraické vlastnosti Weylových tenzorů vztažených skrze Kaluzovu-Kleinovu re- dukci. Konkrétně se zaměřujeme na redukci vakuových prostoročasů podle jednoho prosto- rupodobného Killingova směru a vyšetřujeme četnosti zarovnání dvou vztažených nulových směrů s Weylovým tenzorem, které jsou rovnoběžné v kalibraci, kde jsou kolmé k Maxwellově potenciálu. Vyjádříme vztahy různých veličin v těchto vztažených prostoročasech, jako jsou Riemannovy a Weylovy tenzory, optické matice a negeodetičnosti, a ukážeme tak některé zajímavé důsledky ohledně redukce Kundtových...

In four-dimensional general relativity, the algebraic classification has played an important role in study of spacetimes, including, but not limited to the search for new solutions to the Einstein equation. In the present work, we study its recent generalization to higher dimensions, based on categorizing Weyl tensor frame components by their transformation properties under boosts. Specifically, we concentrate on its connection to two well-established concepts. Kaluza-Klein reduction can be regarded as a relation between spacetimes of different dimen- sionality. As such, it is desirable to be understood in the context of the higher-dimensional algebraic classification. We study algebraic properties of Weyl tensors related by Kaluza-Klein reduction. Specifically, we concentrate on reduction of vacuum spacetimes by one spatial Killing direction and investigate Weyl-alignment multiplicities of two related null directions that are parallel in a gauge where they are perpendicular to the Maxwell potential. We express rela- tions of various quantities of the related spacetimes, such as Riemann and Weyl tensors, optical matrices and non-geodeticities, revealing some interesting consequences regarding reduction of Kundt spacetimes and of spacetimes admitting a geodetic null direction. Based on this, we...