Dimenzionální transmutace v kvantové teorii

Abstract

Práce se zabývá dvěma vybranými modely - z kvantové teorie pole nehmotnou skalární elektrodynamikou (tzv. Colemanův-Weinbergův model) a z kvantové mechaniky kontaktním (-funkčním) potenciálem (ve dvou dimenzích) - které jsou zdánlivě invariantní vůči nějakému druhu škálových transformací, a tak při vhodné volbě jednotek obsahují pouze bezrozměrné parametry. Ukazuje se, že i kvantově-mechanickém případě je potřeba formální denici modelu doplnit další procedurou a že užití různých fyzikálních regularizací vede ke stejným výsledkům, které se navíc shodují s předpověd'mi matematicky rigoróznější metody samosdružených rozšíření operátorů. V této práci prezentujeme podrobné výpočty podporující tento závěr; na rozdíl od běžné literatury tak ovšem činíme přímočarými metodami, které umožňují krok za krokem vidět, proč tomu tak je - veškeré potřebné znalosti z pokročilejší funkcionální analýzy jsou navíc shrnuty v dodatku. V části věnované kvantové teorii pole aplikujeme podobný přístup, kde výsledky získané pomocí abstraktních funkcionálních metod "znovuobjevujeme" pomocí obvyklé poruchové teorie. V jejím rámci navíc ukazujeme, jak z teorie obdržet předpovědi i pro jiné veličiny, než samotné hmoty zúčastněných částic.

This work deals with two models - from the quantum eld theory it is the massless scalar electrodynamics (the so-called Coleman-Weinberg model) and from quantum mechanics it is the contact (-function) potential (in two dimensions) - that are apparently invariant under some sort of scale transformations and thus they, in suitably chosen units, contain only dimensionless parameters. It turns out that even in the quantum-mechanical case one has to add an additional procedure to the formal denition of the model and that the use of dierent physical regulators leads to the same results, that furthermore agree with the predictions of the mathematically rigorous method of self-adjoint operator extensions. In this work, we present detailed calculations supporting this result. Contrary to the common literature, we do so in a straightforward manner, which can be followed step by step (with all the necessary elements of functional analysis summarised in the Appendix). In quantum eld theory we apply a similar approach, when we "rediscover" the results of the abstract functional methods in the ordinary perturbation theory. In its framework, we further show how to obtain predictions also for other quantities than particle masses.