Sums of squares in number fields

Abstract

Cílem práce je studovat totálně reálná kvadratická tělesa Q( √ D), ve kterých pro pevné přirozené číslo m platí, že všechny m-násobky totálně kladných celistvých prvků lze vyjádřit ve tvaru součtu čtverců. Dokazujeme poměrně silné nutné a postačující podmínky k tomu, aby uvažovaná tělesa měla tuto vlastnost. Dále uvádíme rychlý algoritmus, který pro pevné m najde všechna tělesa, ve kterých výše uvedená skutečnost nastává. 1

The goal of this thesis is to study real quadratic number fields Q( √ D) such that, for a given rational integer m, all m-multiples of totally positive integers are sums of squares. We prove quite sharp necessary and sufficient conditions for this to happen. Further, we give a fast algorithm that verifies this property for specific m, D and that for a fixed m finds all such fields in polynomial time. 1