Konečně generované polookruhy a polotělesa

Abstract

Tato práce se zabývá polookruhy. Polookruhy jsou tvořeny nosnou množinou s dvěma binárními operacemi, které jsou komutativní, asociativní a navíc je jedna z nich distributivní vůči druhé. Zaměříme se na třídu ideálově-jednoduchých polookruhů, tedy polookruhů bez vlastních ideálů. Předložíme klasifikaci ideálově-jednoduchých polookruhů a zabýváme se jejich podtřídami, mezi něž patří polotělesa a parapolotělesa. Hlavním výsledkem této práce jsou těsné odhady minimálního počtu polookruhových generátorů parapolotěles. Dále se věnujeme studiu konečně generovaných polotěles a ukážeme, jak mohou vypadat. V neposlední řadě ukážeme, že každý konečně generovaný ideálově jednoduchý polookruh je také konečně generovaný jako multiplikativní grupa.

We investigate commutative semirings, which are formed by a ground set equipped with two binary associative and commutative operations such that one distributes over the other. We narrow down our interest to ideal-simple semirings, that is, semirings without proper ideals. We present the classification of ideal-simple semirings and deal with some classes of ideal-simple semirings, namely semifields and parasemifields. The main result of this thesis is giving tight bounds on the minimal number of generators needed to generate a parasemifield as a semiring. We also study how the semifields that are finitely generated as a semiring look like. Last, but not least, we show that every finitely generated ideal-simple semiring is finitely-generated as a multiplicative semigroup.