Periodicity of Jacobi-Perron algorithm

Abstract

Cílem této práce je studovat vztah mezi nerozložitelnými prvky v kubických tělesech a Jakobi-Perronovým algoritmem (JPA). JPA je zobecnění algoritmu řetězových zlomků do vyšších dimenzí. V práci pracujeme s rodinou Ennolových kubických těles, zkoumáme, jaký je vztah mezi nerozložitelnými prvky v těchto tělesech a prvky získanými z JPA rozvojů. Navíc zkoumáme, zda tyto prvky přímo generují všechny nerozložitelné prvky v těchto tělesech. Zformulovali jsem domněnky, jak určit které prvky z rozvojů generují nerozložitelné prvky. Také jsme dokázali několik nutných podmínek, které musejí prvky získané z rozvoje splňovat, aby generovaly nerozložitelné prvky. 1

This thesis aims to study a connection between indecomposable elements in the cubic fields and the Jacobi-Perron algorithm (JPA). JPA is a multidimensional generalization of the usual continued fractions algorithm. We work in the family of Ennola's cubic fields and we examine how the indecomposable elements are related to elements originating from this algorithm and whether some of these elements generate all indecomposable elements in the fields. We formulate conjectures on how to determine which elements will generate the indecomposable elements. We also prove some necessary conditions that have to hold for elements originating from this algorithm to generate indecomposable elements. 1