Pseudorandom walks and chip firing games

Abstract

Studujeme dva deterministické procesy analogické náhodným procházkám na grafech. První je hra s vystřelováním žetonů, chip-firing game, zavedená Björnerem a Lovászem. Jedná se o hru jednoho hráče hranou pohybem žetonů po orientovaném grafu. Našli jsme efektivní simulaci booleovských obvodů a Turingových strojů pomocí této hry. Druhým procesem je Prop- pův stroj, neboli rotor-router model, pseudonáhodný proces zavedený Priez- zhevem. Zlepšujeme výsledky Kijima a spol. a ukazujeme novou horní mez O(m) na diskrepanci tohoto procesu na grafech stupně d s m hranami. 1

We study two deterministic analogues of random walks. The first is the chip-firing game, a single player game played by moving chips around a directed graph, popularised by Björner and Lovász. We find an efficient simulation of boolean circuits and Turing machines using instances of the chip-firing game - after assigning a fixed strategy to the player. The second is the Propp machine, or the rotor router model, a quasirandom model intro- duced by Priezzhev. We improve results of Kijima et al. and show a bound of O(m) on the discrepancy of this process from a random walk on d-regular graphs with m edges. 1