Probability distribution of functional random variables

Abstract

Popisujeme základní koncepty funkcionálních náhodných prvků a prostor funkcí L2 [0, 1]. Diskutujeme o neexistenci funkcionální hustoty a také požadavků pro integrování přes prostor funkcí. V kapitole 2 popisujeme koncept distribučních funkcionálů a uvádíme test dobré shody, který je používá. Následují charakteristické funkcionály v kapitole 3, spolu s nejnovějším testem Gaussovskosti pro funkcionální náhodné prvky. Kapitolu uza- víráme s vlastním testem dobré shody, u kterého dokazujeme rozdělení jeho testové statis- tiky za alternativy, rozdělení testové statistiky za nulové hypotézy, a konečně rozdělení bootstrapové testové statistiky. Práci zakončujeme ilustrací teorie na simulační studii empirické hladiny a síly testů dobré shody. 1

We describe basic notions of functional random elements and the space of functions L2 [0, 1]. We discuss the non-existence of a probability density functional and the re- quirements for integrating in a functional space. In Chapter 2, we define distribution functionals and introduce a goodness-of-fit test which utilises them. The concept of char- acteristic functionals follows in Chapter 3, along with the latest test for Gaussianity of functional random elements. We conclude the chapter with our own new goodness-of- fit test, where we prove the distribution of its test statistic under the alternative, then under the null hypothesis, and lastly the distribution of the bootstrapped test statistic. Finally, we illustrate the theory on a simulation study of the empirical significance level and power of the goodness-of-fit tests. 1