Lokální-globální princip pro kvadratické formy

Abstract

Local-global principle for quadratic forms This work will be focused on the problems of representation and equivalence for quadratic forms. We will prove the fundamental Hasse-Minkowski theorem, which describes the rational representation and equivalence using properties of the form over the completions of Q: the real and p-adic numbers. We will refer to this procedure as local-global principle. Furthermore, we shall describe the methods for computing the p-adic invariants, and show their relation to the representation problem. Finally, we show how the local-global partially extends to integral forms, in particular to indefinite ones of dimension at least 4. 1

Lokální-globální princip pro kvadratické formy Budeme se zabývat problémem ekvivalence kvadratických forem a reprezen- tací prvků formou. Pro racionální ekvivalenci a reprezentaci existuje klasická Hasse-Minkowského věta, která poskytuje velmi uchopitelnou charakterizaci fo- rem pomocí pohledu na formu nad zúplněními racionálních čísel, tedy reálnými a p-adickými čísly. Tento pohled budeme nazývat lokálním-globálním principem. Ukážeme, jak spočíst invarianty forem nad Qp a jak nad Qp řešit problém re- prezentace prvků. Nakonec předvedeme, že lokálně-globální pohled lze částečně aplikovat i pro celočíselné formy za dodatečných předpokladů, například pro in- definitní formy dimenze alespoň 4. 1