Fixed point theorems in the theory of differential equations

Abstract

This thesis is devoted to show various applications of fixed point theorems on dif- ferential equations. In the beginning we use a notion of topological degree to derive several fixed points theorems, primarily Brouwer, Schauder and Kakutani-Ky Fan the- orem. Then we apply them on a wide range of relatively simple problems from ordinary and partial differential equations (ode and pde). Finally, we take a look on a few more complex problems. First is an existence of a solution to the model of mechanical os- cillator with non-monotone dependence of both displacement and velocity. Second is a solution to so called Gause predator-prey model with a refuge. The last one is cer- tain partial differential equation with a constraint which determines maximal monotone graph. 1

Tato diplomová práce si klade za cíl demonstrovat řadu aplikací vět o pevných bodech v problematice diferenciálních rovnic. Na začátku uvedeme pojem topolog- ického stupně pomocí něhož dospějeme k několika větám o pevných bodech, především jde o větu Brouwerovu, Schauderovu a Kakutani-Ky Fanovu. Tyto poté užijeme na širší spektrum v zásadě jednoduchých úloh z obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Nakonec se tyto věty pokusíme aplikovat na pár složitějších problémů. První je záležitost existence řešení pro model popisující mechanický oscilátor s nemonotónní závislostí na výchylce i rychlosti. Dále se jedná o řešení takzvaného Gauseho modelu dravec-kořist se skrýší. Na závěr budeme zkoumat jednu parciální diferenciální rovnici s vazbou, která nás dovede k maximálnímu monotónnímu grafu. 1