Prostor-vyplňující křivky

Abstract

The first part of this thesis deals with Cantor's bijection and the historical develop- ment of the notion of curve. Here, the proof of existence of Cantor's bijection is introduced and it is followed by a discussion of the importance of this bijection for further advance- ment of mathematics and the theme of space-filling curves. The section about historical development of curves explores different approaches to the definition and its changing interpretation through time, from the Ancient Greece up until the 20th century. The second part of the thesis introduces the issue of space-filling curves. The segment descri- bes different methods of space-filling curves construction, particularly the geometric and the arithmetic construction of the Hilbert and the Peano Curve, as these were the first examples of the said curve. Furthermore, typical properties of the space-filling curves are discussed, explained and proofed with special attention dedicated to their nowhere diffe- rentiability. There are also some additional examples of 2D space-filling curves - including the Sierpiński Curve - and some 3D variations of some of them. The illustrative figures presented throughout the text are also a crucial component of the thesis. 1

První část této práce je věnována Cantorově bijekci a historickému vývoji pojmu křivka. Přibližuje význam Cantorovy bijekce v oblasti zkoumání křivek a podává důkaz její existence. Historický vývoj sleduje především definice a interpretace pojmu křivka, které se v průběhu rozvoje matematiky objevovaly, a to od dob starého Řecka do 20. století. Druhá část práce je pak věnována seznámení s prostor-vyplňujícími křivkami, je- jich konstrukcím a vlastnostem. Podrobně je popsán princip geometrické a aritmetické konstrukce na příkladech Peanovy a Hilbertovy křivky, jakožto prvních popsaných křivek tohoto typu. Z vlastností je zaměřena pozornost především na nediferencovatelnost ně- kterých prostor-vyplňujících křivek v každém bodě. V práci jsou uvedeny také příklady dalších prostor-vyplňujících křivek dvojrozměrného i trojrozměrného prostoru. Součástí práce jsou názorné obrázky uvedené v průběhu celého textu. 1