Some point-free aspects of connectedness

Abstract

V této práci ukážeme Stoneovu větu o reprezentaci, která je také známa pod názvem Stoneova dualita, v bezbodovém kontextu. Předvedený důkaz je bezvýběrový, a protože se nemusíme starat o jednotlivé body, je mnohem jednodušší než původní důkaz. Ukážeme, že pro každý nekonečný kardinál κ jsou protějšky κ-úplných Booleových algebrer κ-bazicky nesouvislé Stoneovy framy. Také předvedeme přesnou charakterizaci morfismů, které jsou v ko- responenci s κ-úplnými Booleovskými homomorfismy. Ikdyž Booleanizace není obecně funktoriální, v části duality extremálně nesouvislých Stoneových framů funktoriální je a dokonce tvoří ekvivalenci kategorií. Na konci práce se zaměříme na De Morganovské (respektive extremálně nesouvislé) framy a ukážeme jejich novou charakterizaci pomocí jejich superhustých sublokálů. Naproti tomu jsou metrizovatelné framy, které nemají žádný netriviální su- perhustý sublokál, a proto nikdy není jejich netriviální Čech-Stoneova kom- paktifikace metrizovatelná. 1

In this thesis we present the Stone representation theorem, generally known as Stone duality in the point-free context. The proof is choice-free and, since we do not have to be concerned with points, it is by far simpler than the original. For each infinite cardinal κ we show that the counter- part of the κ-complete Boolean algebras is constituted by the κ-basically disconnected Stone frames. We also present a precise characterization of the morphisms which correspond to the κ-complete Boolean homomorphisms. Although Booleanization is not functorial in general, in the part of the dual- ity for extremally disconnected Stone frames it is, and constitutes an equiv- alence of categories. We finish the thesis by focusing on the De Morgan (or extremally disconnected) frames and present a new characterization of these by their superdense sublocales. We also show that in contrast with this phenomenon, a metrizable frame has no non-trivial superdense sublocale; in other words, a non-trivial Čech-Stone compactification of a metrizable frame is never metrizable. 1