Algorithmic aspects of intersection-defined graph classes

Abstract

Geometrically representable graphs are extensively studied area of research in contempo- rary literature due to their structural characterizations and efficient algorithms. The most frequently studied class of such graphs is the class of interval graphs. In this thesis we focus on two problems, generalizing the problem of recognition, for classes related to interval graphs. In the first part, we are concerned with adjusted interval graphs. This class has been studied as the right digraph analogue of interval graphs. For interval graphs, there are polynomial algorithms to extend a partial representation by given intervals into a full interval representation. We will introduce a similar problem - the partial ordering extension - and we will provide a polynomial algorithm to extend a partial ordering of adjusted interval digraphs. In the second part, we show two NP-completeness results regarding the simultaneous representation problem, introduced by Lubiw and Jampani. The simultaneous representation problem for a given class of intersection graphs asks if some k graphs can be represented so that every vertex is represented by the same object in each representation. We prove that it is NP-complete to decide this for the class of interval and circular-arc graphs in the case when k is a part of the input and graphs...

Geometricky reprezentovatel'né triedy grafov sú intenzívne študovanou oblast'ou výskumu v súčasnej literatúre, a to kvôli ich štrukturálnym charakterizáciám a efektívnym algoritmom. Najštudovanejšou triedou takých grafov je trieda intervalových grafov. V tejto práci sa za- meriame na dva problémy, zovšeobecňujúce problém rozpoznávania, pre triedy súvisiace s triedou intervalových grafov. V prvej časti sa zaoberáme tzv. zarovnanými intervalovými digrafmi. Táto trieda bola skúmaná ako správna analógia intervalových grafov. Pre intervalové grafy sú známe algo- ritmy pre rozširovanie čiastočných reprezentácií daných intervalov na úplnú intervalovú re- prezentáciu. My predstavíme podobný problém - rozširovanie čiastočných usporiadaní - a ukážeme polynomiálny algoritmus pre rozširovanie čiastočných usporiadaní zarovnaných intervalových digrafov. V druhej časti práce dokážeme NP-úplnost' pre dva špeciálne prípady problému simultánnych reprezentácií grafov, ktorý predstavil Jampani a Lubiw. Problém simultánnych reprezentácií pre danú triedu grafov sa pýta, či k grafov môže byt' reprezentovaných tak, že každý vrchol je reprezentovaný rovnakým objektom v každej reprezentácii. Dokázali sme, že tento problém je...