Základy perzistentní homologie

Abstract

Abstract:In this work, the reader is introduced to the theory of persistent ho- mology and its applications. In the first chapter we will show the basics of sim- plicial and singular homology and we will prove the basic relations, especially the independence of simplicial homological groups on the chosen △-complex and isomorphism between homological groups of homotopic spaces. In the second chapter, we explain the motivation behind persistent homology, describe its al- gebraic structure and how it can be visually represented. We describe and prove the corectness of the algorithm for its calculation. We then illustrate the theory on an example. 1

V této práci seznámíme čtenáře s teorií perzistentní homologie a na- značíme její aplikace. V první kapitole ukážeme základy simpliciální a singulární homologie a dokážeme základní vztahy, zejména nezávislost simpliciálních ho- mologických grup na zvoleném △-komplexu a izomorfismus mezi homologickými grupami homotopických prostorů. V druhé kapitole vysvětlíme motivaci za perzis- tentní homologií, popíšeme její algebraickou strukturu a způsob, jak lze vizuálně reprezentovat. Popíšeme a dokážeme správnost algoritmu na její výpočet. Teorii poté ilustrujeme na příkladu. 1