Chaotic random variables in applied probability

Abstract

Tato práce se zabývá modelováním částicových procesů. V první části zk- oumáme Gibbsův proces faset na omezeném okně s diskrétním rozdělením orien- tací a odvodíme centrální limitní větu pro U-statistiky procesů faset s rostoucí intenzitou. Spočítáme všechny momenty pro interakční U-statistiky a použijeme momentovou metodu pro odvození centrální limitní věty. Dále představíme al- ternativní verzi důkazu, která využívá centrální limitní větu pro U-statistiky Poissonova procesu faset. V druhé části práce modelujeme segmenty v R2 s rozdělením definovaným po- mocí hustoty vzhledem k Poissonovu procesu. Parametrické modely obsahují ref- erenční rozdělení orientací a délek segmentů. Prezentujeme statistickou metodu, která nejprve odhadne skalární parametry pomocí existujících metod a poté odhadne referenční hustotu neparametricky. Dále přestavíme Takacs-Fikselovu metodu odhadu a předvedeme použití odhadů v simulační studii. Jako aplikaci zpracujeme data z obrazů aktinových vláken v kmenových buňkách. V třetí části studujeme stacionární Gibbsův částicový proces s deterministicky omezenou velikostí částic na Euklidovském prostoru definovaném za pomoci po- tenciálu s konečným rozsahem a...

This thesis deals with modeling of particle processes. In the first part we ex- amine Gibbs facet process on a bounded window with discrete orientation distri- bution and we derive central limit theorem (CLT) for U-statistics of facet process with increasing intensity. We calculate all asymptotic joint moments for interac- tion U-statistics and use the method of moments for deriving the CLT. Moreover we present an alternative proof which makes use of the CLT for U-statistics of a Poisson facet process. In the second part we model planar segment processes given by a density with respect to the Poisson process. Parametric models involve reference distributions of directions and/or lengths of segments. Statistical methods are presented which first estimate scalar parameters by known approaches and then the reference distribution is estimated non-parametrically. We also introduce the Takacs-Fiksel estimate and demonstrate the use of estimators in a simulation study and also using data from actin fibres from stem cells images. In the third part we study a stationary Gibbs particle process with determin- istically bounded particles on Euclidean space defined in terms of a finite range potential and an activity parameter. For small activity parameters, we prove the CLT for certain statistics of this...