dc.contributor.advisor | Šťovíček, Jan | |
dc.creator | Beran, Adam | |
dc.date.accessioned | 2018-10-03T09:40:44Z | |
dc.date.available | 2018-10-03T09:40:44Z | |
dc.date.issued | 2018 | |
dc.identifier.uri | http://hdl.handle.net/20.500.11956/101663 | |
dc.description.abstract | In this thesis, we study the theory of elliptic curves, with the main focus on elliptic curves over finite fields. We present basic theory, taking several technical aspects into consideration (singularity of the curve, effect of field characteristic on the form of the equation of elliptic curve). We algebraically deduce and formulate the group law, that is the definition of addition on a set of points on elliptic curve). We prove a known result saying that the set of points on elliptic curve under addition forms a group. We present an elementary proof, some of the calculations will be carried out in computer program Mathematica due to their complexity. Finally, we study endomorphisms of elliptic curves over finite fields (homomorphisms on the set of points on elliptic curve that are defined by rational functions). Using obtained results, we prove the Hasse's theorem, which provides an estimate of the order of the group of points on elliptic curve over finite field. 1 | en_US |
dc.description.abstract | V této práci se zabýváme teorií eliptických křivek, zvláštní pozornost věnujeme eliptickým křivkám nad konečnými tělesy. Představíme základní teorii, zohled- níme přitom několik technických aspektů (singularita křivky, vliv charakteristiky tělesa na rovnici křivky). Algebraicky odvodíme a zformulujeme grupový zákon neboli definici operace sčítání na množině bodů na eliptické křivce. Dále zpracu- jeme důkaz známého faktu, že množina bodů na eliptické křivce spolu s operací sčítání tvoří komutativní grupu. K důkazu přistoupíme elementárně, některé vý- počty z důvodu jejich náročnosti provedeme v počítačovém programu Mathema- tica. Nakonec studujeme endomorfismy eliptických křivek nad konečnými tělesy (homomorfismy na množině bodů eliptické křivky, jež jsou zadané racionálními funkcemi). Pomocí získaných výsledků dokážeme Hasseho větu, která poskytuje odhad na řád grupy bodů na eliptické křivce nad konečným tělesem. 1 | cs_CZ |
dc.language | Čeština | cs_CZ |
dc.language.iso | cs_CZ | |
dc.publisher | Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta | cs_CZ |
dc.subject | eliptické křivky | cs_CZ |
dc.subject | grupový zákon | cs_CZ |
dc.subject | Hasseho věta | cs_CZ |
dc.subject | elliptic curves | en_US |
dc.subject | group law | en_US |
dc.subject | Hasse's theorem | en_US |
dc.title | Eliptické křivky nad konečnými tělesy | cs_CZ |
dc.type | bakalářská práce | cs_CZ |
dcterms.created | 2018 | |
dcterms.dateAccepted | 2018-09-12 | |
dc.description.department | Katedra algebry | cs_CZ |
dc.description.department | Department of Algebra | en_US |
dc.description.faculty | Faculty of Mathematics and Physics | en_US |
dc.description.faculty | Matematicko-fyzikální fakulta | cs_CZ |
dc.identifier.repId | 170678 | |
dc.title.translated | Elliptic curves over finite fields | en_US |
dc.contributor.referee | Žemlička, Jan | |
thesis.degree.name | Bc. | |
thesis.degree.level | bakalářské | cs_CZ |
thesis.degree.discipline | Mathematical Methods of Information Security | en_US |
thesis.degree.discipline | Matematické metody informační bezpečnosti | cs_CZ |
thesis.degree.program | Matematika | cs_CZ |
thesis.degree.program | Mathematics | en_US |
uk.thesis.type | bakalářská práce | cs_CZ |
uk.taxonomy.organization-cs | Matematicko-fyzikální fakulta::Katedra algebry | cs_CZ |
uk.taxonomy.organization-en | Faculty of Mathematics and Physics::Department of Algebra | en_US |
uk.faculty-name.cs | Matematicko-fyzikální fakulta | cs_CZ |
uk.faculty-name.en | Faculty of Mathematics and Physics | en_US |
uk.faculty-abbr.cs | MFF | cs_CZ |
uk.degree-discipline.cs | Matematické metody informační bezpečnosti | cs_CZ |
uk.degree-discipline.en | Mathematical Methods of Information Security | en_US |
uk.degree-program.cs | Matematika | cs_CZ |
uk.degree-program.en | Mathematics | en_US |
thesis.grade.cs | Výborně | cs_CZ |
thesis.grade.en | Excellent | en_US |
uk.abstract.cs | V této práci se zabýváme teorií eliptických křivek, zvláštní pozornost věnujeme eliptickým křivkám nad konečnými tělesy. Představíme základní teorii, zohled- níme přitom několik technických aspektů (singularita křivky, vliv charakteristiky tělesa na rovnici křivky). Algebraicky odvodíme a zformulujeme grupový zákon neboli definici operace sčítání na množině bodů na eliptické křivce. Dále zpracu- jeme důkaz známého faktu, že množina bodů na eliptické křivce spolu s operací sčítání tvoří komutativní grupu. K důkazu přistoupíme elementárně, některé vý- počty z důvodu jejich náročnosti provedeme v počítačovém programu Mathema- tica. Nakonec studujeme endomorfismy eliptických křivek nad konečnými tělesy (homomorfismy na množině bodů eliptické křivky, jež jsou zadané racionálními funkcemi). Pomocí získaných výsledků dokážeme Hasseho větu, která poskytuje odhad na řád grupy bodů na eliptické křivce nad konečným tělesem. 1 | cs_CZ |
uk.abstract.en | In this thesis, we study the theory of elliptic curves, with the main focus on elliptic curves over finite fields. We present basic theory, taking several technical aspects into consideration (singularity of the curve, effect of field characteristic on the form of the equation of elliptic curve). We algebraically deduce and formulate the group law, that is the definition of addition on a set of points on elliptic curve). We prove a known result saying that the set of points on elliptic curve under addition forms a group. We present an elementary proof, some of the calculations will be carried out in computer program Mathematica due to their complexity. Finally, we study endomorphisms of elliptic curves over finite fields (homomorphisms on the set of points on elliptic curve that are defined by rational functions). Using obtained results, we prove the Hasse's theorem, which provides an estimate of the order of the group of points on elliptic curve over finite field. 1 | en_US |
uk.file-availability | V | |
uk.publication.place | Praha | cs_CZ |
uk.grantor | Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta, Katedra algebry | cs_CZ |
thesis.grade.code | 1 | |