Eliptické křivky nad konečnými tělesy
Elliptic curves over finite fields
bakalářská práce (OBHÁJENO)
![Náhled dokumentu](/bitstream/handle/20.500.11956/101663/thumbnail.png?sequence=8&isAllowed=y)
Zobrazit/ otevřít
Trvalý odkaz
http://hdl.handle.net/20.500.11956/101663Identifikátory
SIS: 170678
Kolekce
- Kvalifikační práce [10705]
Autor
Vedoucí práce
Oponent práce
Žemlička, Jan
Fakulta / součást
Matematicko-fyzikální fakulta
Obor
Matematické metody informační bezpečnosti
Katedra / ústav / klinika
Katedra algebry
Datum obhajoby
12. 9. 2018
Nakladatel
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaJazyk
Čeština
Známka
Výborně
Klíčová slova (česky)
eliptické křivky, grupový zákon, Hasseho větaKlíčová slova (anglicky)
elliptic curves, group law, Hasse's theoremV této práci se zabýváme teorií eliptických křivek, zvláštní pozornost věnujeme eliptickým křivkám nad konečnými tělesy. Představíme základní teorii, zohled- níme přitom několik technických aspektů (singularita křivky, vliv charakteristiky tělesa na rovnici křivky). Algebraicky odvodíme a zformulujeme grupový zákon neboli definici operace sčítání na množině bodů na eliptické křivce. Dále zpracu- jeme důkaz známého faktu, že množina bodů na eliptické křivce spolu s operací sčítání tvoří komutativní grupu. K důkazu přistoupíme elementárně, některé vý- počty z důvodu jejich náročnosti provedeme v počítačovém programu Mathema- tica. Nakonec studujeme endomorfismy eliptických křivek nad konečnými tělesy (homomorfismy na množině bodů eliptické křivky, jež jsou zadané racionálními funkcemi). Pomocí získaných výsledků dokážeme Hasseho větu, která poskytuje odhad na řád grupy bodů na eliptické křivce nad konečným tělesem. 1
In this thesis, we study the theory of elliptic curves, with the main focus on elliptic curves over finite fields. We present basic theory, taking several technical aspects into consideration (singularity of the curve, effect of field characteristic on the form of the equation of elliptic curve). We algebraically deduce and formulate the group law, that is the definition of addition on a set of points on elliptic curve). We prove a known result saying that the set of points on elliptic curve under addition forms a group. We present an elementary proof, some of the calculations will be carried out in computer program Mathematica due to their complexity. Finally, we study endomorphisms of elliptic curves over finite fields (homomorphisms on the set of points on elliptic curve that are defined by rational functions). Using obtained results, we prove the Hasse's theorem, which provides an estimate of the order of the group of points on elliptic curve over finite field. 1