Composition of quadratic forms over number fields

Abstract

The thesis is concerned with the theory of binary quadratic forms with coefficients in the ring of algebraic integers of a number field. Under the assumption that the number field is of narrow class number one, there is developed a theory of composition of such quadratic forms. For a given discriminant, the composition is determined by a bijection between classes of quadratic forms and a so-called relative oriented class group (a group closely related to the class group). Furthermore, Bhargava cubes are generalized to cubes with entries from the ring of algebraic integers; by using the composition of quadratic forms, the composition of Bhargava cubes is proved in the generalized case. 1

Tato diplomová práce se zabývá teorií binárních kvadrat- ických forem s koeficienty v okruhu celistvých prvků číselného tělesa. Pro číselná tělesa, která mají úzké třídové číslo rovno jedné, je vyvinuta teorie skládání takovýchto kvadrat- ických forem. Toto skládání je pro daný diskriminant určeno bijekcí mezi třídami ekvivalence kvadratických forem a tzv. relativní orientovanou třídovou grupou (grupa sou- visející s třídovou grupou). Následně jsou v práci zobecněny Bhargavovy krychle, nově jsou uvažovány krychle nad okruhem celistvých prvků číselného tělesa. V práci je dokázáno tvrzení o skládání těchto krychlí, přičemž k důkazu se využívá výše uvedené skládání kvadratických forem. 1