Normal approximation for statistics of Gibbs point processes

Abstract

In this thesis, we deal with finite Gibbs point processes, especially the processes with densities with respect to a Poisson point process. The main aim of this work is to investigate a four-parametric marked point process of circular discs in three dimensions with two and three way point interactions. In the second chapter, our goal is to simulate such a process. For that purpose, the birth- death Metropolis-Hastings algorithm is presented including theoretical results. After that, the algorithm is applied on the disc process and numerical results for different choices of parameters are presented. The third chapter consists of two approaches for the estimation of parameters. First is the Takacs-Fiksel estimation procedure with a choice of weight functions as the derivatives of pseudolikelihood. The second one is the estimation procedure aiming for the optimal choice of weight functions for the estimation in order to provide better quality estimates. The theoretical background for both of these approaches is derived as well as detailed calculations for the disc process. The numerical results for both methods are presented as well as their comparison. 1

V této práci se budeme zabývat konečnými Gibbsovými bodovými procesy, zvláště procesy s hustotou vzhledem k Poissonovu procesu. Hlavním cílem bude zkoumání kótovaného bodového procesu kruhových disků ve třech dimenzích s dvojnými a trojnými interakcemi, přičemž proces závisí na čtyřech různých parametrech. Ve druhé kapitole se pokusíme tento proces simulovat. Pro tento účel předvedeme Metropolis-Hastingsův algoritmus rození a zániku včetně teoretických vlastností. Poté bude tento algoritmus aplikován na proces disků včetně numerických výsledků pro různé volby parametrů. Třetí kapitola se skládá ze dvou postupů pro odhad parametrů. První je Takacs-Fikselova metoda s volbou váhových funkcí jako derivací věrohodnosti. Druhá je metoda směřující k optimálnímu výběru váhových funkcí k zajištění lepší kvality odhadů. Pro obě dvě metody je sepsána teorie a detailní odvození pro proces disků. Numerické výsledky pro obě dvě metody jsou nakonec prezentovány včetně jejich vzájemného porovnání. 1