Rýchle násobenie v telese GF(2n)

Abstract

Title: Fast multiplication in the field GF(2n ) Author: Marek Bajtoš Department: Department of Algebra Supervisor: doc. Mgr. et Mgr. Žemlička Jan, Ph.D., Department of Algebra Abstract: In this bachelor thesis we research how to optimize multiplication with a fixed element of finite field which can be useful for implementation of crypto- graphic algorithms in lightweight cryptography. We will represent effectivity of multiplication by number of XOR operation needed for implementation of matrix which represent some fixed element of finite field. We prove that some matrix re- presents multiplication with some element of finite field if and only if the minimal polynomial of matrix is irreducible. We also prove theorems describing conditi- ons which matrix must satisfy so matrix can be implemented with only 1 or 2 XOR operations. At the end of the thesis we show construction of circulant MDS matrices which uses elements of finite field with low XOR count so they can be easily implemented. Keywords: lightweight cryptography, finite field, XOR, MDS matrix

Názov práce: Rýchle násobenie v telese GF(2n ) Autor: Marek Bajtoš Katedra: Katedra algebry Vedúci bakalárskej práce: doc. Mgr. et Mgr. Žemlička Jan, Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: V tejto bakalárskej práci budeme skúmať, ako optimalizovať násobenie fixným prvkom konečného telesa, ktoré je využiteľné pri implementácií šifrova- cích algoritmov v ľahkej kryptografii. Efektívnosť násobenia budeme vyjadrovať pomocou počtu XOR operácií potrebných na implementáciu matice, ktorá re- prezentuje daný fixný prvok konečného telesa. Dokážeme, že matica reprezentuje násobenie nejakým prvkom konečného telesa práve vtedy, keď je jej mininálny polynóm ireducibilný. Ďalej dokážeme tvrdenia, ktoré popisujú, za akých podmi- enok sa dá matica implementovať s 1 alebo 2 XOR operáciami. V závere práce uvedieme konštrukciu cyklických MDS matíc, v ktorých sa uplatní znalosť voľby prvkov konečného telesa, ktoré sa dajú ľahko implementovať. Kľúčové slová: ľahká kryptografia, konečné teleso, XOR, MDS matica