Maximum principles for elliptic systems of partial differential equations

Abstract

We consider nonlinear elliptic Bellman systems which arise in the theory of stochastic differential games. The right hand sides of the equations (which are called Hamiltonians) may have quadratic growth with respect to the gradient of the unknowns. Under certain assumptions on Lagrangians (from which the Hamiltonians are derived), that are satisfied for many types of stochastic games, we establish the existence and uniqueness of a Nash point and develop structural conditions on the Hamiltonians. From these conditions we establish a certain version of maximum and minimum principle. This result is then used to establish the existence of a bound solution. 1

V této práci se zabýváme nelineárními eliptickými Bellmanovy systémy, které vystupují v teorii stochastických diferenciálních her. Pravé strany těchto rovnic (nazývané Hamiltoniány) můžou mít kvadratický růst vzhledem ke gradientu hledané funkce. Za jistých předpokladů na Lagrangiány (ze kterých jsou Hamiltoniány odvozeny), které jsou splněny pro mnoho typů stochastických her, odvodíme existenci a jednoznačnost Nashova bodu a odvodíme strukturální omezení Hamiltoniánů. Z těchto omezení odvodíme jistou verzi principu maxima a minima. Tento výsledek je pak použit na důkaz existence omezeného řešení. 1