Spojitá zobrazení a věty o pevném bodu

Abstract

Tato práce se zabývá obrazy kompaktních konvexních množin při spojitém zobrazení. Ukážeme zde kombinatorický důkaz slavné Brouwerovy věty o pevném bodu založený na Spernerově lemmatu. Tuto větu následně využijeme pro důkaz Brouwerovy věty o invarianci oblasti, jež tvrdí, že obraz otevřené podmnožiny eukleidovského prostoru při spojitém zobrazení je rovněž otevřený. Tento důkaz potom porovnáme s důkazem využívající Borsukovy věty. Jejich důkaz je sice komplikovanější, nicméně se ukazuje, že Borsukovy věty dávají silnější výsledky. Jedním z nich je například analogie Darbouxovy vlastnosti pro spojitá zobrazení ve vícerozměrném prostoru. 1

This thesis deals with images of compact convex sets under a continuous mapping. We will show a combinatorial proof of famous Brouwer's fixed-point theorem based on Sperner's lemma. Later, this theorem will be applied for proving Brouwer's invariance of domain theorem, which asserts that image of an open subset of an euclidean space under a continuous mapping is open too. Then we will compare this proof with another proof using Borsuk's theorems. Their proof is more complicated, nevertheless it turns out that Borsuk's theorems give stronger results. One of them is, for instance, an analogy of the Darboux property for continuous mappings in an multidimensional space. 1