Důkazy pomocí konečných automatů

Abstract

V roce 2016 zveřejnil Hamoon Mousavi program Walnut implementující automatické dokazování vět o automatických posloupnostech. Hlavním cílem této práce bylo ukázat teoretickou funkčnost Walnutu na základě spojitosti automatických posloupností s Presburgerovou (resp. Büchiho) aritmetikou, jež je rozhodnutelnou teorií. Dalším cílem bylo s přiměřenou mírou detailnosti popsat, jak je rozhodovací procedura Walnutem doopravdy prováděna, a na závěr pak na praktických příkladech ukázat možné využití Walnutu při řešení konrétních problémů. Jedním z těchto konkrétních příkladů, jejichž řešení je v práci předvedeno, je například nalezení kritického exponentu Rudin- Shapirovy posloupnosti - tento příklad je v literatuře z roku 2003 uváděn jako otevřený problém (nicméně v současnosti se již o otevřený problém nejedná, nebot' v roce 2011 Shallit dokázal, že kritický exponent všech auto- matických posloupností je vyčíslitelný). Samotnou poslední kapitolu lze také díky tomu, že obsahuje podrobně okomentované řešené příklady, využít jako velice stručný manuál pro ty, kteří se s Walnutem setkávají poprvé a chtějí jej využít k vlastním aplikacím. 1

In 2016, Hamoon Mousavi published Walnut which is a program that implements automated theorem proving of propositions about automatic sequences. The main purpose of this thesis was to show the theoretical functi- onality of Walnut on the basis of the relation between automatic sequences and Presburger (resp. B¨uchi) arithmetic that is a decidable theory. Another goal was to describe adequately how the decision procedure of Walnut really works, and finally, to show the practical use of Walnut on several particular problems. One of these particular problems that are solved in the thesis is computation of the critical exponent of the Rudin-Shapiro sequence - this exercise was presented as an open problem in a book of 2003 (however, this exercise does not belong among open problems any more since Shallit proved in 2011 that the critical exponent is computable for all automatic sequences.) The last chapter itself can be also used as a brief manual for newcomers to Walnut that want to use this program for their own applications. 1