Twistors in relativistic field theories

Abstract

V práci se zabýváme tématem twistorů, oblastí původně ryze fyzikálně motivovan- ou, dnes však už bohatě rozvinutou do mnohých odvětví matematiky a fyziky. Teorie twistorů svoji šíří zasahuje do algebraické geometrie, Cliffordovské analýzy, ale stejně tak jako do teorie strun či kvantové gravitace. V práci vysvětlujeme původ twistorů, jak projektivních, tak neprojektivních. Matematické podloží k teorii twistorů je první kapitola, kde pečlivě studujeme Cliffordovy algebry a jejich reprezentace. V první části druhé kapitoly nahlížíme na neprojektivní twistor jako na prvek reprezentace jisté Spin-grupy, což následně dáváme do souvislosti se standardní definicí neprojektivních twistorů jakožto jádra twistorového operátoru. V poslední části druhé kapitoly vyt- voříme projektivní twistorový prostor, o němž ukážeme jisté vlastnosti, především jeho korespondenci s komplexifikovaným kompaktifikovaným Minkowskiho prostorem.

In this thesis, we are concerning about the Twistor theory, field originally motivated purely physically, although these days fully developed into the many fields of mathem- atics and physics. With its complexion Twistor theory influences algebraic geometry, Clifford analysis as well as the String theory or Theory of quantum gravity. In the thesis we describe the origin of twistors projective or not. Mathematical background to the twistor theory is covered in the first chapter, where we study Clifford algebras and their representations. In the first part of the second chapter we are describing non-projective twistors as representation elements of certain Spin-group, and we find the connection with the standard definition of non-projective twistors as a kernel of the twistor operator. In the last part of the second chapter, we create a space of pro- jective twistors and show its certain properties, especially its correspondence with the complexified compactified Minkowski spacetime.