Integral operators on function spaces

Abstract

V této práci uvažujeme Lorentzovy-Karamatovy prostory s pomalu se měnící funkcí a studujeme jejich vlastnosti. Nejprve předvedeme jednodušší definici pomalu se měnících funkcí a odvodíme některé jejich vlastnosti. Poté uvážíme Lorentzovy-Karamatovy funkcionály nad obecným sigma-konečným prostorem s neatomickou mírou a korespon- dující Lorentzovy-Karamatovy prostory. Charakterizujeme netrivialitu těchto prostorů, dále studujeme, kdy jsou ekvivalentní nějakému Banachovu prostoru funkcí, pro což odvodíme několik podmínek, jak nutných tak postačujících. Dále studujeme vnoření mezi Lorentzovými-Karamatovými prostory a předvedeme částečnou charakterizaci. Nakonec se pokoušíme popsat asociované prostory Lo- rentzových-Karamatových prostorů, v čemž jsme úspěšní dokonce i pro některé limitní případy. Naším přínosem je především charakterizace netriviality, částečná charakte- rizace vnoření, popis asociovaných prostorů v některých limitních případech a všechny výsledky týkající se Lorentzových-Karamatových prostorů se sekundár- ním parametrem q menším než jedna. Tyto výsledky jsou, pokud víme, nové. 1

In this thesis, we consider Lorentz-Karamata spaces with slowly varying fuc- tions and study their properties. We first provide simpler definition of slowly varying functions and derive some of their properties. We then consider Lorentz-Karamata functionals over an arbi- trary sigma-finite measure space equipped with a non-atomic measure and corre- sponding Lorentz-Karamata spaces. We characterise non-triviality of said spaces, then study when they are equivalent to a Banach function space and obtain mul- titude of conditions, either sufficient or necessary. We further study embeddings between Lorentz-Karamata spaces and provide a partial characterisation. At last, we try to describe the associate spaces of Lorentz-Karamata spaces and succeed even in some of the limiting cases. Our contribution is mainly the characterisation of non-triviality, the partial characterisation of embeddings, the description of associate spaces in some lim- iting cases and all the results concerning Lorentz-Karamata spaces with the sec- ondary parameter q smaller than one. Those results are, as far as we are aware, new. 1