Application of the Dijkstra's Algorithm in the Pedestrian Flow Problem

Abstract

Cílem práce je řešení rovnic proudění chodců jako systému tvořeného eikonálovou rovnicí a hyperbolickým systémem prvního řádu s pravou stranou. Uvedený hyperbolický systém se skládá z rovnice kontinuity a Eulerových rovnic pohybu pro stlačitelnou nevazkou tekutinu. Pro specifikaci vnějších objemových sil v Eulerových rovnicích předpokládáme, že se chodci snaží pohybovat v určitém směru a určitou rychlostí, které jsou závislé na hustotě v jejich okolí. Žádaný směr pohybu dostaneme jako gradient řešení eikonálové rovnice. V této práci ukážeme, že řešení eikonálové rovnice má význam času potřebného k projití nejrychlejší cesty k východu. Navrhujeme nahrazení řešení eikonálové rovnice pomocí teorie grafů, kde jako graf používáme danou triangulaci. Norma hrany v této triangulaci je závislá na hustotě a má rozměr času. Toto společně s použitím modifikovaného Dijkstrova algoritmu je původní přínos práce. V práci jsou také prezentovány numerické výsledky a porovnání obou přístupů. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

The purpose of this work is to study the pedestrian flow equations as the coupled system formed by the eikonal equation and the first order hyperbolic system with the source term. The hyperbolic system consists of the continuity equation and the equations of motion of a compressible inviscid fluid. To specify the outer volume forces in the latter equation it is assumed that the pedestrians try to move in a desired direction with a desired velocity, which are dependent on the density in their surroundings. The desired direction is obtained as the gradient of the solution of the eikonal equation. We show that the solution of the eikonal equation has the meaning of the time needed to pass the fastest path to the exit. We suggest avoiding solving the eikonal equation by using the graph theory, where as the graph we use the underlying triangulation. The norm of each edge in the graph is density-dependent and has the dimension of time. This is together with the use of the modified Dijkstra's algorithm the novelty of the work. Numerical results of the two approaches are presented. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)