Brownian motion in logarithmic potential

Abstract

V této práci se zabýváme dobou prvního dosážení Brownovské částice difundující pod vlivem logaritmického potenciálového pole U(x, t) = g(t) log(x). Hlavní část této práce je věnována případu potenciálu s časově závislou amplitudou g(t). Pro získání odpovídající pravděpodobnosti přežití je potřeba vyřešit Fokker-Planckovu rovnici. Její analytické řešení pro časově závislý po- tenciál je ovšem dosud neznámé. V této práci navrhujeme jednoduchý asymptotický přístup, který poskytuje dlouhočasové chování pravděpodobnosti přežití a momenty polohy částice. Pravděpo- dobnost přežití vykazuje různorodé chování pro různé funkce g(t). Rozlišujeme tři režimy asympto- tického chování: regulární režim, marginální režim a režim zesílené absorpce. Také řešíme otázku, jak se budou odvozené vlastnosti prvního dosažení pro Brownův pohyb měnit, když se absorpční hranice nenachází přímo v počátku. 1

In this thesis we study first-passage properties of a Brownian particle diffusing under the action of logarithmic potential field U(x, t) = g(t) log(x). The main part of this thesis is de- voted to the case of time-dependent potential strength g(t). To obtain the corresponding survival probability, one may try to solve the Fokker-Planck equation. However, its exact solution for the time-dependent potential is yet unknown. In this work we propose a simple asymptotic theory which yields the long-time behaviour of the survival probability and the moments of the particle position. The survival probability exhibits a rather varied behaviour for different functions g(t). We identify three regimes of asymptotic decay: the regular regime, the marginal regime and the regime of enhanced absorption. We also address the question of how will the derived first-passage properties of Brownian motion change when the absorbing boundary is not exactly at the origin. 1