Anihilační a kreační operátory v teorii Lieových algeber a ve fyzice

Abstract

V této práci je ukázáno, jakým způsobem lze v kontextu kvantové mechaniky využít teorie Lieových algeber, konkrétně jejich oscilátorových realizací. Ty je možné sestrojit z maticových realizací. V případě symplektické a speciální ortogonální algebry je předvedena alternativní metoda získání oscilátorových realizací ze symetrické mocniny nebo vnější mocniny vektorového prostoru anihilačních a kreačních bosonových, resp. fermionových operátorů. Mezi funkcemi na fázovém prostoru mechanického systému existuje Lieova algebra polynomů nejvýše druhého stupně, která tvoří polopřímý součin Heisenbergovy algebry a symplektické algebry. Klasický systém, jehož Hamiltonova funkce leží v této algebře, lze kvantovat dvěma ekvivalentními způsoby - pomocí Schrödingerovy nebo Bargmann- Fockovy reprezentace. Druhá zmíněná generuje stejné operátory symplektické algebry jako při jejich předchozí formální konstrukci ze symetrické mocniny prostoru bosonových operátorů. Proces kvantování je demonstrován na příkladě bosonového harmonického oscilátoru. Je využito podobností bosonových a fermionových oscilátorových realizací k zavedení fermionového harmonického oscilátoru, na jehož stavovém prostoru jsou demonstrovány vlastnosti spinorové reprezentace speciální ortogonální algebry. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

We show the use of the theory of Lie algebras, especially their oscillator realizations, in the context of quantum mechanics. One can construct oscillator realizations from matrix realizations. In the case of symplectic and special orthogonal algebra, we demonstrate an alternative method of obtaining oscillator realizations from symmetric or exterior power of a vector space of annihilation and creation bosonic or fermionic operators. We find Lie algebra of polynomials of degree at most two in phase space of a mechanical system, which form the semi-direct product of the Heisenberg algebra and symplectic algebra. It is shown that a classical system with Hamiltonian function in this algebra can be quantized by two equivalent representations - Schrödinger or Bargmann-Fock representation. The second mentioned representation generates the same operators of symplectic algebra as we got from their previous formal construction from symmetric power of a vector space of bosonic operators. Quantization is demonstrated on the bosonic harmonic oscillator. We use the similarities between bosonic and fermionic oscillator realizations to define the fermionic harmonic oscillator. Some properties of spinor representations of special orthogonal algebra are illustrated on its state space. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)