Bisektory

Abstract

Tato práce se zabývá studiem bisektorů (tj. množin bodů stejně vzdálených od dvou daných bodů) a vlivem jejich tvaru na tvar jednotkové koule. Je známo, že pokud každý bisektor dvojice protilehlých bodů na sféře normovaného lineárního prostoru leží v nadrovině, pak je již norma dána skalárním součinem (pro speciální normu v R2 je to dokázáno ve Větě 18). Zde se zabýváme zobecněním tohoto tvrzení v prostoru R2 pro případ (a priori) nesymetrické jednotkové koule. Konkrétně ukážeme, že pokud má množina bodů x z jednotkové sféry takových, že bisektor bodů x a −x je přímka, neprázdný vnitřek vzhledem ke sféře, pak jednotková sféra - pokud je hladká - je již elipsou se středem v počátku. Práce je založena na preprintu [1]. 1

This work deals with the study of bisectors (i.e. sets of points of equal distance from two given points) and the impact of their shape on the shape of the unit ball. It is known that if each bisector of two antipodal points on the sphere of a normed linear space lies in a hyperplane, then the norm is an inner product norm (for a special case of norm in R2 it is proved in Theorem 18). Here we generalise this statement in R2 for the case of (a priori) non-symmetric unit ball. In particular, we show that if the set of points x in the unit sphere, such that the bisector of x and −x is a line, has non-empty interior with respect to the sphere and the sphere is smooth, then the unit sphere is an ellipse centred at the origin. The work is based on the preprint [1]. 1