Logika a kryptografie

Abstract

Název práce: Logika a kryptografie Autor: Bc. Vojtěch Wagner Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Jan Krajíček, DrSc. Abstrakt: Práce se zabývá studiem metod pro formalizaci kryptografických konstrukcí. Konkrétně metodou, která je založena na definování logické teorie T, která obsahuje řetězce, čísla a objekty třídy k - k-ární funkce. Povolíme jim určité operace a formulujeme axiomy, termy a formule. Budeme používat speciální typ termů - počítající term, který označuje počet prvků x v daném inter- valu splňujících formuli ϕ(x). Díky nim můžeme mluvit o pravděpodobnostech a používat další pojmy z teorie pravděpodobnosti. Práce nejprve popisuje detailně tuto teorii. Poté přináší formalizaci Goldreich-Levinovy věty. Cílem práce je předložit potřebné kryptografické pojmy a konstrukce v jazyce teorie T a následně dokázat větu pomocí objektů, pravidel a axiomů teorie T. Uvedené definice a principy jsou ilustrovány na příkladech. Cílem práce je ukázat, že takováto teorie je dostatečně silná, aby dokázala správnost a bezpečnost podobné kryptografické konstrukce. Klíčová slova: kryptografie, ověřování protokolů, věta o správnosti, formální logická teorie, Goldreich-Levinova věta 1

Title: Logic and cryptography Author: Bc.Vojtěch Wagner Department: Department of Algebra Supervisor: prof. RNDr. Jan Krajíček, DrSc. Abstract: This work is devoted to a study of a formal method of formalization of cryptographic constructions. It is based on defining a multi-sorted formal logic theory T composed of strings, integers and objects of sort k - k-ary functions. We allow some operations on them, formulate axioms, terms and formulas. We also have a special type of integers called the counting integers. It denotes the number of x from a given interval satisfying formula ϕ(x). It allows us to talk about probabilities and use terms of probability theory. The work first describes this theory and then it brings a formalization of the Goldreich-Levin theorem. The goal of this work is to adapt all needed cryptographic terms into the language of T and then prove the theorem using objects, rules and axioms of T. Presented definitions and principles are ilustrated on examples. The purpose of this work is to show that such theory is sufficiently strong to prove such cryptographic constructions and verify its correctness and security. Keywords: cryptography, protocol verifying, Soundness theorem, formal logic theory, the Goldreich-Levin theorem 1