Classification of (in)finitary logics

Abstract

V této magisterské práci se budeme zabývat větami o úplnosti v rámci abstraktní algebraické logiky. Náš ústřední zájem bude spočívat v úplnosti vůči takzvaným relativně (konečně) subdirektně ireducibilním modelům. Významnou úlohu popi- sované teorie hraje rozdíl mezi finitarními a infinitárními logickými systémy. Zaměříme se na dobře známý fakt, že pro každou finitární logiku lze dokázat větu o úplnosti vůči svým relativně (konečně) subdirektně ireducibilním modelům, a budeme se zabývat možností zobecnit tuto větu na logiky infinitární. Ukážeme, že existují dvě zajímavé vlastnosti, které leží mezi finitaritou a touto větou o úplnosti, jedná se o vlastnosti rozšíření na (úplně) průsekové prvoteorie. Na základě těchto pojmů zadefinujeme pět tříd logik a navrhneme novou hierarchy finitárních a infinitárních logik. Hlavním přínosem této práce je důkaz, že exis- tuje logika oddělující některé z těchto tříd. Klíčová slova: Abstraktní algebraická logika, úplnost, relativně (konečně) subdirektně ireducibilní modely, RSI-úplnost, RFSI-úplnost, vlastnost rozšíření na (úplně) průsekové prvoteorie, IPEP, CIPEP.

In this master thesis we investigate completeness theorems in the framework of abstract algebraic logic. Our main interest lies in the completeness with respect to the so called relatively (finitely) subdirectly irreducible models. Notable part of the presented theory concerns the difference between finitary and infinitary logical systems. We focus on the well-known fact that the completeness theorem with respect to relatively (finitely) subdirectly irreducible models can be proven in general for all finitary logics and we discuss the possible of generalizing this theorem even to infinitary logics. We show that there are two interesting inter- mediate properties between this completeness and finitarity, namely (completely) intersection-prime extension properties. Based on these notions we define five classes of logics and propose a new hierarchy of finitary and infinitary logics. As a main contribution of this dissertation we present an example of a logic separat- ing some of these classes. Keywords: Abstract algebraic logic, completeness, relatively (finitely) sub- directly irreducible models, RSI-completeness, RFSI-completeness, (completely) intersection-prime extension property, IPEP, CIPEP.