Estimation and Application of the Tail Index

Abstract

Zkoumání extrémních hodnot je nezbytnou součástí finančního risk manage- mentu. Tato práce prověřuje vlastnosti chvostů pomocí jednorozměrného rámce Teorie extrémních hodnot. Empirický výzkum byl proveden na indexu S&P 500 a sedmi jeho konstituentech. Cílem této práce bylo odhadnout pomocí Hillovy metody chvostový index, který charakterizuje chování chvostů a určuje rychlost jejich svažování. K výběru chvostového prahu bylo využito několika grafických metod, jelikož jsou empirickými ukazateli stability modelu. Byl použit klasický Hillův graf a také alternativní graf s vyhlazovací technikou. Výběr prahu založen na stabilních plochách těchto grafů byl shledán vysoce subjektivním. Byla tedy použita Hillova metoda pozměněna Huismanem a výsledky potvrdily, že klasická Hillova metoda přináší odhady, které nadhod- nocují tloušťku chvostů. Bylo zjištěno, že všechny zkoumané akcie mají těžké chvosty s polynomickým svažováním. V práci bylo zdůrazněno, že je potřeba modelovat zvlášť levý a pravý chvost, jelikož jsou důležité extrémní ztráty i zisky v závislosti na tom, zda investor drží krátkou či dlouhou pozici. Chvos- tový index byl také použit k ilustraci potřeby počítat očekávané ztráty...

Examining the nature of extreme values plays an important role in financial risk management. This thesis investigates tail behaviour of distribution of re- turns using the framework of univariate Extreme Value Theory. The empirical research was conducted on the S&P 500 index and its seven constituents. The goal of this thesis was to use the Hill method to estimate the tail index of the series which characterizes the tail behaviour, especially the speed of the tail decay. To select the tail threshold several graphical methods were performed as they represent empirical measures of model stability. Classical Hill plots as well as alternative Hill plots and smoothing procedure were presented. The threshold choice based on stable regions in the graphs was found to be highly subjective. Hill method modified by Huisman was used instead and the results confirmed that the classical Hill method yields estimates which overestimate the tail thickness. All the examined series were found to have heavy tails with polynomial tail decay. This thesis stressed the need to model the left and the right tail separately as both extreme losses and profits are important depending on whether an investor takes a long or a short position on portfolio. Finally, the tail index was used to demonstrate the need to compute the...