Classes of modules arising in contemporary algebraic geometry

Abstract

V kategorii modulů nad noetherovskými nebo Dedekindovými obory zkoumáme vlastnosti velmi plochých a kontraadjustovaných modulů, tj. modulů z odpovídajících tříd v kotorzním páru (VF, CA) generovaném množinou všech modulů tvaru R[s−1 ]. Dále definujeme lokálně velmi ploché moduly a vyšetřujeme jejich vztah k velmi plochým modulům jako analogii vztahu projektivních a plo- chých Mittag-Lefflerových modulů. Pro noetherovské obory ukazujeme, že třída všech velmi plochých modulů je pokrývající, právě když třída všech lokálně velmi plochých modulů je předpokrývající, právě když spektrum příslušného okruhu je konečné. Pro obory mohutnosti menší než 2ω je toto dále ekvivalentní výroku, že třída všech kontraadjustovaných modulů je pokrývající.

In the setting of Noetherian or Dedekind domains, we investigate the properties of very flat and contraadjusted modules. These are the modules from the respective classes in the cotorsion pair (VF, CA) generated by the set of all modules of the form R[s−1 ]. Furthermore, we introduce the concept of locally very flat modules and pursue the analogy of their relation to very flat modules and the relation between projective and flat Mittag-Leffler modules. It is shown that for Noetherian domains, the class of all very flat modules is covering, if and only if the class of all locally very flat modules is precovering, if and only if the spectrum of the ring is finite; for domains of cardinality less than 2ω , this is further equivalent to the class of all contraadjusted modules being enveloping.