Variační počet ve fyzice a geometrii

Abstract

Název práce: Variační počet ve fyzice Autor: Jan Kuchařík Katedra / Ústav: Matematický ústav UK Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. Abstrakt: Ve své práci shrnuji některá základní použití variačního počtu v praktických aplikacích. Odvozuju zde nezbytný matematický aparát. Zavádím pojem matematického funkcionálu a jeho extremalizaci, odvozuji Euler-Lagrangeovu rovnici a její důsledek - Beltramiho identitu; dále se věnuji odvození metody řešení izoperimetrických úloh, která zobecňuje metodu Lagrangeových multiplikátorů. Ačkoliv se v práci vyskytují řešené úlohy nejrůznějšího typu, zaměřuju se na čtyři hlavní oblasti: Fermatův princip, Hamiltonův princip nejmenší akce, isoperimetrické úlohy a hledání geodetik. Title: Variational calculus in physics Author: Jan Kuchařík Department: Supervisor: RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. Abstract: In my research work, I try to collect some basic usage of variational calculus in practical applications. I derive all the necessary mathematical tools. I explain what is a fuctional and what it means to extremalize it, I derive Euler- Lagrange equation and its corollary - Beltrami identity. I also try to derive a method for solving isoperimetric problems which generalizes the one of the Lagrange multipliers. Although there is a variety of several different...

Název práce: Variační počet ve fyzice Autor: Jan Kuchařík Katedra / Ústav: Matematický ústav UK Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. Abstrakt: Ve své práci shrnuji některá základní použití variačního počtu v praktických aplikacích. Odvozuju zde nezbytný matematický aparát. Zavádím pojem matematického funkcionálu a jeho extremalizaci, odvozuji Euler-Lagrangeovu rovnici a její důsledek - Beltramiho identitu; dále se věnuji odvození metody řešení izoperimetrických úloh, která zobecňuje metodu Lagrangeových multiplikátorů. Ačkoliv se v práci vyskytují řešené úlohy nejrůznějšího typu, zaměřuju se na čtyři hlavní oblasti: Fermatův princip, Hamiltonův princip nejmenší akce, isoperimetrické úlohy a hledání geodetik. Title: Variational calculus in physics Author: Jan Kuchařík Department: Supervisor: RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. Abstract: In my research work, I try to collect some basic usage of variational calculus in practical applications. I derive all the necessary mathematical tools. I explain what is a fuctional and what it means to extremalize it, I derive Euler- Lagrange equation and its corollary - Beltrami identity. I also try to derive a method for solving isoperimetric problems which generalizes the one of the Lagrange multipliers. Although there is a variety of several different...