Lucasův-Lehmerův test

Abstract

Cílem této práce je seznámit čtenáře s teorií kvadratických číselných těles a dokázat korektnost Lucasova-Lehmerova prvočíselného testu. Kvadratické číselné těleso je těleso tvaru Q( √ m). První kapitola popisuje základní vlastnosti okruhu celistvých čísel tohoto tělesa, důraz je kladen zejména na explicitní popis grupy jeho invertibilních prvků. Druhá kapitola studuje dělitelnost ideálů tohoto okruhu. Je dokázána věta o existenci a jedno- značnosti rozkladu každého ideálu na součin prvoideálů a věta charakterizující všechny prvoideály. Kapitola třetí využívá teorii kvadratických číselných těles k popisu a důkazu korektnosti Lucasova-Lehmerova prvočíselného testu - deterministického algoritmu ově- řujícího prvočíselnost čísel tvaru 2p − 1. 1

The aim of this thesis is to explain quadratic number field theory and prove correctness of the Lucas-Lehmer primality test. A quadratic number field is a field of the form Q( √ m). Chapter one describes elementary properties of such field's ring of integers focusing on characterisation of the ring's group of units. Chapter two studies ideal factorisation in this ring. It contains proofs of a theorem on unique factorisation of the ideals into prime ideals and a theorem describing all prime ideals. Chapter three employs quadratic number field theory to prove correctness of the Lucas-Lehmer prime test, which is a deterministic primality test for numbers of the form 2p − 1. 1