Symetrická náhodná procházka

Abstract

Tématem práce je symetrická náhodná procházka, její definice a základní vlastnosti. Na úvod se věnujeme pravděpodobnostnímu modelu a následně základním vlastnostem, jako je, například, finální poloha procházky v čase n, její střední hodnota, či rozptyl. Dále si ukážeme, při jakém normování bude procházka konvergovat k nule, respektive, co o ní říká silný zákon velkých čísel. Ve druhé kapitole budeme zkoumat rozdělení maxima symetrické náhodné procházky. V kapitole 3 si zadefinujeme markovský čas a zavedeme markovskou vlastnost náhodné procházky a následně dokážeme mnoho pomocných tvrzení s využitím základních znalostí kombinatoriky. Závěr práce je věnován samotnému důkazu zákona arkusinu, který mluví o velké setrvačnosti symetrické náhodné procházky. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

This thesis discusses symmetric random walk, its definition and basic properties. The outset is focused on the probabilistic model and subsequently on basic properties, such as the final position at time n, its mean value and variance. Furthermore, we will see what the scaling must be for the walk to converge to zero, precisely what is the consequence of the strong law of large numbers. In the second chapter we will examine the distribution of the maximum of the symmetric random walk. In chapter 3 we will define stopping time and Markov property of random walks. Then we proof many auxiliary lemmas using basic knowledge of combinatorics. The final part is devoted to the proof of the arcsine distribution, which shows great persistence of the symmetric random walk. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)