Kódy, okruhy a moduly

Abstract

Tato práce se zabývá lineárními samoopravnými kódy nad řetězcovým okruhem. Lineárním kódem nad řetězcovým okruhem R délky n myslíme nějaký R-podmodul modulu Rn . Představíme základní úvod do teorie konečných komu- tativních řetězcových okruhů a lineárních kódů nad nimi. Klademe zde důraz především na jejich algebraický popis. Studujeme rozsáhleji minimální homo- genní a Hammingovy vzdálenosti těchto kódů. Vysvětlíme, jak lze pomocí zo- becněného Grayova zobrazení převádět lineární kódy nad řetězcovým okruhem na obecně nelineární kódy nad tělesem. Zabýváme se konstrukcí lineárních kódů nad řetězcovým okruhem a popíšeme konstrukci generujících matic založenou na náhodném generování. Získané kódy pak srovnáme se známými výsledky.

This work is focused on linear error-correcting codes over chain rings. By a linear code over a chain ring R of length n, we mean a R-submodule of the module Rn . The basic introduction to the theory of finite commutative chain rings and linear codes over them is given. We especially emphasize here their al- gebraic description. Minimal homogenous and Hamming distances of these codes are extensively studied. We explain, how the generalized Gray map can transform linear codes over a chain ring into general non-linear codes over a field. We deal with the construction of linear codes over a chain ring and the construction of generator matrices based on random generation is described. Obtained codes are compared with known results.