Integrální reprezentace operátorových algeber

Abstract

Reprezentací C*-algebry A na Hilbertově prostoru H rozumíme morfismus : A → L(H). Po shrnutí potřebných poznatků z teorie Banachových a Hilbertových prostorů a C*-algeber ukážeme, že pro každou C*-algebru existuje reprezentace. Popíšeme podrobněji její strukturu a zaměříme se na zkoumání cyklických reprezentací. Zjistíme, že cyklické reprezentace souvisí se stavovým prostorem. Protože každý stav lze psát jako integrál podle vhodné míry na stavech, lze ke každé cyklické reprezentaci přiřadit míru na stavovém prostoru. Proto budeme dále zkoumat souvislost reprezentace jak s touto mírou, tak i s odpovídajícím stavem. To nás povede k definici ortogonální míry. Zjistíme, že její vlastnosti souvisí s jistými podalgebrami L(H). Nakonec ukážeme, že pro separabilní C*-algebru lze reprezentaci splňující vhodné předpoklady psát ve formě direktního integrálu. 1

By a representation of a C*-algebra A on a Hilbert space H we mean a morphism : A → L(H). After summing up neccessary knowledge from the theory of Banach and Hilbert spaces and C*-al- gebras we show that for every C*-algebra a representation exists. We describe its structure detiledly and we focus on examining cyclic representations. We find out that cyclic representations relate to the state space. Because every state can be expressed as an integral with respect to an appropriate measure on the states, in is possible to assign a measure on the state space to each cyclic represen- tation. Therefore, we investigate connexion of a representation with this measure as same as with the corresponding state. This leads us to the definition of an orthogonal measure. We find out that its properties relate with certain subalgebras of L(H). At the end we show that for a separable C*-algebra it is possible to express a representation fulfilling suitable assumptions in the form of a direct integral. 1