Study of the relaxation into a stochastic limit cycle

Abstract

Uvažujeme mikroskopický dvojhladinový systém v kontakte s tepel- ným rezervoárom. Predpokladáme periodický časový priebeh rozdielu energií jeho stavov a Markovovskú dynamiku systému. Z príslušnej riadiacej rovnice do- spejeme k analytickému riešeniu dynamiky, ktoré formulujeme v tvare matice- propagátora. Za predpokladu detailnej rovnováhy vypočítame rozdelenie prav- depodobností stavov zodpovedajúce limitnému cyklu (periodický priebeh prav- dep. stavov po dostatočnom počte periód) ako vlastný vektor spomínaného pro- pagátora. Ďalej nájdeme transcendentálnu rovnicu pre počiatočnú podmienku vedúcu k minimálnej produkcii entropie za prvú periódu vývoja. Tieto výsledky rozvinieme do prvého rádu parametra ireverzibility. Zisťujeme, že pre neveľký parameter ireverzibility (pomalá zmena rozdielu energií) je ich priemer rovno- vážnym Boltzmannovým rozdelením pre daný okamih. 1

We consider a microscopic two-level system in contact with a heat reservoir. We assume a time-periodic difference between the energies of the two levels. The system dynamics is assumed to be Markovian. From the correspond- ing master equation we calculate the dynamics of such a system in the form of a propagator matrix. Under the assumption of the detailed balance we further calculate the limit cycle probability distribution (which the system will attain after a long time) as an eigenvector of the propagator. We also find a transcen- dental equation for the initial condition that minimizes the entropy production over the first driving period. These two distributions are then expanded in an irreversibility parameter and compared. We discover that up to the first term in the irreversibility parameter (for a slow driving), the Boltzmann equilibrium probability distribution is the average of the limit cycle and entropy minimizing distribution. 1