Expektilová regrese

Abstract

V této práci prezentujeme alternativu ke kvantilům - takzvané ex- pektily. Nejprve definujeme samotný pojem expektilu rozdělení náhodné veličiny a poté ukazujeme jeho základní vlastnosti jako linearita a monotonie τ-tého ex- pektilu eτ v τ. Pro náhodný vektor (Y, X), Y ∈ R, X ∈ Rp definujeme podmíněný expektil Y za podmínky X = x, který označíme eτ (Y |X = x). Zavádíme model expektilové regrese eτ (Y |X = x) = x⊤ βτ , kde βτ ∈ Rp a zabýváme se asymptotickými vlastnostmi a hledáním odhadu regresních koeficientů βτ . Dále zavádíme semiparametrickou expektilovou regresi, která zobecňuje předchozí případ a přidává na odhady regresních koeficientů penalizaci. Ta vynucuje určité vlastnosti výsledných křivek vykreslených z vyrovnaných hodnot jako např. je- jich hladkost. Teoretické výsledky demonstrujeme na mechanografických datech, které popisují vztah výkonu a síly při výskoku na věku u dětí a dospívajících ve věku 6 až 18 let. Klíčová slova: expektily, expektilová regrese, kvantily, penalizované B-spliny 1

In this thesis we present an alternative to quantiles, which is known as expectiles. At first we define the notion of expectile of a distribution of ran- dom variable and then we show some of its basic properties such as linearity or monotonic behavior of τ-th expectile eτ in τ. Let (Y, X), Y ∈ R, X ∈ Rp be a ran- dom vector. We define conditional expectile of Y given X = x, which we denote eτ (Y |X = x). We introduce model of expectile regression eτ (Y |X = x) = x⊤ βτ , where βτ ∈ Rp and we examine asymptotic behavior of estimate of the regression coefficients βτ and ways how to calculate it. Further we introduce semiparametric expectile regression, which generalizes the previous case and adds restrictions on the estimate of the regression coefficients which enforce desired properties such as smoothness of fitted curves. We illustrate the use of theoretical results on me- chanographic data, which describe dependence of power and force of a jump on age of children and adolescents aged between 6 and 18. Keywords: expectiles, expectile regression, quantiles, penalized B-splines 1