Special Classes of Boolean Functions with Respect to the Complexity of their Minimization.

Abstract

In this thesis we study Boolean functions from three different perspectives. First, we study the complex- ity of Boolean minimization for several classes of formulas with polynomially solvable SAT, and formulate sufficient conditions for a class which cause the minimization problem to drop at least one level in the polyno- mial hierarchy. Second, we study a class of matched CNFs for which SAT is trivial but minimization remains Σp 2 complete. We prove that every matched CNF has at least one equivalent prime and irredundant CNF that is also matched. We use this fact to prove the main result of this part, namely that for every matched CNF all clause minimal equivalent CNFs are also matched. Third, we look at propagation completeness - the property of a CNF that says that for every partial assignment all entailed literals can be discovered by unit propagation. We can extend every CNF to be propagation complete by adding empowering impli- cates to it. The main result of this section is a the proof of coNP completeness of the recognition problem for propagation complete CNFs. We also show that there exist CNFs to which an exponential number of empowering implicates have to be added to make them propagation complete.

V práci zkoumáme boolovské funkce ze tří různých hledisek. Zaprvé zkoumáme zložitost minimalizace formulí z několika tříd s polynomiálně řešitelným SATem a uvádíme postačující podmínky pro třídy CNF aby se jejich minimalizace přesunula níž alespoň o jeden stupeň v polynomiální hierarchii. Zadruhé zk- oumáme třídu formulí zvaných matched (párované) pro které je SAT triviální, ale minimalizace zůstává Σp 2 úplná. Dokazujeme, že pro každou párovanou CNF existuje alespoň jedna primární a iredundantní CNF s ní ekvivalentní, která je také párovaná. Použitím tohoto tvrzení ukazujeme hlavní výsledek této části a to, že pro každou párovanou CNF všechny s ní ekvivalentní CNF mající minimální možný počet klauzulí jsou taky párované. Zatřetí se věnujeme vlastnosti propagation completeness (úplnosti pro propagaci) - CNF je úplná pro propagaci, pokud pro každé částečné dosazení jsou všechny vynucené literály odvoditelné jednotkovou propagací. Každá CNF sa dá rozšířit na úplnou pro propagaci přidáváním empowering (zesilujících) imp- likátů. Hlavním výsledkem této části je důkaz coNP úplnosti rozpoznávání formulí úplných pro propagaci. Dále ukazujeme, že existují formule, ke kterým je nutno přidat exponenciálně mnoho zesilujících implikátů, aby se staly úplnými pro propagaci.