Generalized injectivity and approximation

Abstract

Title: Generalized injectivity and approximations Author: Serap S¸ahinkaya Department:Algebra Faculty of Mathematics and Physics, Charles University Supervisor: Prof. RNDr. Jan Trlifaj, DSc, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University Abstract: Injective modules form a basic class studied in contemporary module theory. One of their generalizations, inspired by tilting theory, is the notion of a cotilting module. While tilting modules behave well with respect to localization, we show that colocalization is the correct approach when comparing the struc- ture of cotilting modules over commutative noetherian rings R with the structure of cotilting modules over their localizations Rm where m runs over the maximal spectrum of R. This is done in Chapter 2 of this Dissertation whose main results were published in the paper [33]. In Chapter 3, we investigate approximation properties of other classic generalizations of injective modules, the Ci- and quasi- injective modules, introduced by Harada et al. Suprisingly, we prove that these classes provide for approximations only in exceptional cases (when all Ci mod- ules are injective, or pure-injective). The Dissertation ends with a set of open problems. Keywords: Commutative noetherian ring, (co)tilting module, (generalized) injec- tive module. 1

Název práce: Zobecněná injektivita a aproximace Autor: Serap S¸ahinkaya Katedra: Katedra algebry, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze. Vedoucí dizertační práce: Prof. RNDr. Jan Trlifaj, DSc, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze. Abstrakt: Injektivní moduly tvoří jednu ze základních tříd studovaných v mo- derní teorii modulů. Jejich zobecněním, inspirovaným vychylující teorií, jsou kovychylující moduly. Zatímco vlastnost být vychylujícím modulem se zachovává lokalizací, analogické tvrzení pro kovychylující moduly neplatí. V dizertaci je ukázáno, že účinným nástrojem pro porovnání struktury kovychylujících modulů nad komutativním noetherovským okruhem R se strukturou kovychylujících modu- lů nad jeho lokalizacemi Rm, kde m probíhá maximální spektrum R, je kolokalizace. Tyto výsledky jsou prezentovány v kapitole 2 dizertace a byly již publikovány v článku [33]. V kapitole 3 zkoumáme aproximační vlastnosti jiných klasických zobecnění injektivních modul, Ci- a kvazi-injektivních modulů, zavedených Hara- dou a dalšími. Dokazujeme, že tyto třídy poskytují aproximace pouze ve výjimeč- ných případech (když všechny Ci-moduly jsou injektivní nebo čistě injektivní). Klíčov slova:...