Moduly s minimální množinou generátorů

Abstract

Title: Modules with a minimal generating set Author: Michal Hrbek Department: Department of Algebra Supervisor: Mgr. Pavel Růžička, Ph.D., Department of Algebra Abstract: By a minimal generating set of a module we mean a subset which generates the module but any of its proper subsets does not. If the module is not finitely generated, an existence of a minimal generating set is not guaranteed. We say that a module is weakly based if it has a minimal generating set. In the presented thesis, we provide a characterization of weakly based modules over Dedekind domains. As an application of this, we show that the class of weakly based modules is not closed under extensions and the complement of this class is not closed under finite direct sums. Also, we show an example of an abelian group which is weakly based if and only if CH holds. Then we treat rings such that all modules are weakly based. We prove that a Baer regular ring has this property if and only if it is semisimple, and we show that any ℵ0-noetherian commutative semiartinian ring has this property. Final part of the text concerns the problem of Nashier and Nichols - does any generating set of any module over a perfect ring contain a minimal generating set? Keywords: module, minimal generating set, weak basis 1

Název práce: Moduly s minimální množinou generátorů Autor: Michal Hrbek Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Pavel Růžička, Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: Minimální množinou generátorů modulu máme na mysli podm- nožinu, která je generující, ale žádná její vlastní podmnožina modul negeneruje. Pro moduly, které nejsou konečně generované, nemusí minimální množina gen- erátorů existovat. Moduly mající minimální množinu generátorů nazýváme slabě obázované. V této práci poskytneme úplnou charakterizaci slabě obázovaných modulů nad Dedekindovými obory. Jako aplikaci tohoto výsledku dokážeme, že třída slabě obázovaných modulů není uzavřena na extenze, a že komplement této třídy není uzavřen na konečnou direktní sumu. Také ukážeme příklad abelovské grupy, která je slabě obázovaná, právě když platí CH. Dále se zabýváme okruhy, nad kterými jsou všechny moduly slabě obázované. Dokážeme, že Baerův reg- ulární okruh má tuto vlastnost, jedině pokud je polojednoduchý, a také že ℵ0- noetherovský komutativní regulární semiartinovský okruh tuto vlastnost má. Poslední část textu se věnuje problému Nashiera a Nicholse - obsahuje každá množina generátorů libovolného modulu nad...